Tutorium III – Gleichungen, Ungleichungen und Polynomdivision

27. Oktober 2025

Gleichungen, Ungleichungen, Definitions- und Wertebereiche, Horner-Schema, Polynomdivision, Monotonie- und Symmetrieeigenschaften

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Mathe I – Lineare Algebra & Analysis

In diesem Tutorium üben wir das systematische Lösen verschiedener Gleichungstypen,
darunter kubische, biquadratische, Wurzel- und Betragsgleichungen.
Zudem betrachten wir Ungleichungen, den Definitions- und Wertebereich von Funktionen sowie die Polynomdivision und das Horner-Schema.
Zum Abschluss analysieren wir Monotonie und Symmetrieeigenschaften ausgewählter Funktionen.

Aufgabe 1 – Gleichungen

Wir bestimmen die reellen Lösungen der folgenden Gleichungen.
Jede Teilaufgabe behandelt einen eigenen Typ von Gleichung mit unterschiedlicher Methodik.

Aufgabe 1 (i): Kubische Gleichung

Mittel

Löse die Gleichung:

- 2 x^{3} + 8 x^{2} = 8 x

Aufgabe 1 (ii): Kubische Gleichung mit einfachem Faktor

Mittel

Löse die Gleichung:

x^{3} - 6 x^{2} + 11 x = 0

Aufgabe 1 (iii): Quintische Gleichung mit gemeinsamen Faktor

Schwer

Löse die Gleichung:

x^{5} - 3 x^{3} + 2 x = 0

Aufgabe 1 (iv): Biquadratische Gleichung

Mittel

Löse die Gleichung:

2 x^{4} - 8 x^{2} - 24 = 0

Aufgabe 1 (v): Wurzelgleichung (Scheinlösungen prüfen)

Mittel

Löse die Gleichung:

- 3 + 2 x = 2

Aufgabe 1 (vi): Wurzelgleichung ohne reelle Lösung

Mittel

Löse die Gleichung:

x^{2} + 4 = x - 2

Aufgabe 1 (vii): Wurzelgleichung mit getrennter Domäne

Einfach

Löse die Gleichung:

x - 1 = x + 1

Aufgabe 1 (viii): Betrag und Quadratpolynom

Mittel

Löse die Gleichung:

∣2 x + 4∣ = - (x^{2} - x - 6)

Aufgabe 1 (ix)

Einfach

Löse die Gleichung:

∣ x + 1∣ = ∣ x - 1∣

Aufgabe 1 (x): Doppelbetrag

Mittel

Löse die Gleichung:

∣ x^{2} - 2 x + 1∣ = ∣ x ∣

Aufgabe 2 – Ungleichungen

Hinweise zum Umgang mit Ungleichungen

Generell kann man mit Ungleichungen genau so umgehen wie mit Gleichungen.
Allerdings gibt es einige Besonderheiten zu beachten:

Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl muss die Ungleichung umgedreht werden.
Beispiel: Aus $a < b$ folgt durch Multiplikation mit $- 1$ die Ungleichung $- a > - b$ .
Beim Quadrieren beider Seiten ist Vorsicht geboten, da dies keine Äquivalenzumformung ist.
Es können sich zusätzliche Lösungen ergeben, die die ursprüngliche Ungleichung nicht erfüllen.
Daher ist es wichtig, die Lösungen am Ende zu überprüfen.
Bei Betragsungleichungen muss man ebenfalls Fälle bilden, ähnlich wie bei Betragsgleichungen.
Dabei wird der Betrag durch zwei separate Ungleichungen ersetzt, die jeweils den positiven und negativen Fall abdecken.

Aufgabe 2 (i): Einfache Betragsungleichung

Einfach

Bestimme die Lösungsmenge:

∣ x + 1∣ < 4

Aufgabe 2 (ii)

Mittel

Bestimme die Lösungsmenge:

∣2 x - 1∣ < - x + 3

Aufgabe 2 (iii): Gebrochene quadratische Ungleichung

Schwer

Bestimme die Lösungsmenge:

\frac{x ^{2} - 1}{2 x + 1} < \frac{9}{16}

Aufgabe 2 (iv): Bruchungleichung vergleichen

Schwer

Bestimme die Lösungsmenge:

\frac{x + 1}{x - 1} < \frac{x - 1}{x + 1}

Aufgabe 3 – Definitions- und Wertebereiche

Aufgabe 3 (i): Parabel nach oben verschoben

Einfach

Bestimme Definitionsbereich $D$ und Wertemenge $W$ von

f (x) = 3 x^{2} + 2.

Aufgabe 3 (ii): Wurzelfunktion skaliert

Einfach

Bestimme Definitionsbereich $D$ und Wertemenge $W$ von

f (x) = 4 x - 1 .

Aufgabe 3 (iii): Rationale Funktion

Mittel

Bestimme Definitionsbereich $D$ und Wertemenge $W$ von

f (x) = \frac{x}{2 x ^{2} - 8} .

Aufgabe 4 – Horner-Schema

Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine effiziente Methode zur Auswertung und Faktorisierung von Polynomen.
Es reduziert den Rechenaufwand, indem es die Potenzen von $x$ vermeidet und stattdessen sukzessive Multiplikationen und Additionen verwendet.
Es ist besonders nützlich, wenn man Nullstellen eines Polynoms finden oder das Polynom in Linearfaktoren zerlegen möchte. Vorgehen:

Schreibe die Koeffizienten des Polynoms in eine Zeile. Fülle fehlende Grade mit 0 auf.
Wähle einen Kandidaten $c$ für eine Nullstelle.
Schreibe die erste Zahl (Koeffizient des höchsten Grades) in die untere Zeile.
Wenn du zur nächsten Spalte gehst, multipliziere den Wert unter dem Strich mit dem Kandidaten und übertrage das Ergebnis in die nächste Spalte in die zweite Zeile. Addiere die Zahlen übereinander.
Wiederhole Schritt 4 für alle Spalten.
Der letzte Wert in der unteren Zeile ist der Rest. Wenn dieser 0 ist, ist $c$ eine Nullstelle. Die anderen Werte in der unteren Zeile sind die Koeffizienten des reduzierten Polynoms.
Wiederhole den Prozess mit dem reduzierten Polynom, bis das Polynom vollständig faktorisiert ist.

Aufgabe 4: Faktorisiere mit Horner

Mittel

Gegeben sei

f (x) = - x^{4} + 6 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x + 9.

Faktorisiere $f$ vollständig. Tipp: Alle Nullstellen sind ganzzahlig und |x| < 4.

Aufgabe 5 – Polynomdivision

Aufgabe 5: Faktorisiere mit Polynomdivision

Mittel

Faktorisiere erneut

f (x) = - x^{4} + 6 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x + 9

diesmal explizit per Polynomdivision.

Aufgabe 6 – Monotonie und Symmetrie

Hinweise zu Monotonie und Symmetrie

Symmetrie:
Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ (gerade Funktion, achsensymmetrisch zur $y$ -Achse) oder $f (- x) = - f (x)$ (ungerade Funktion, punktsymmetrisch zum Ursprung).
Monotonie:
Bestimme die erste Ableitung $f^{'} (x)$ .
- Wenn $f^{'} (x) > 0$ für alle $x$ im Definitionsbereich, dann ist $f$ streng monoton steigend.
- Wenn $f^{'} (x) < 0$ für alle $x$ im Definitionsbereich, dann ist $f$ streng monoton fallend.
- Wenn $f^{'} (x)$ das Vorzeichen wechselt, dann hat $f$ lokale Extremstellen (Maxima/Minima) an den Stellen, wo $f^{'} (x) = 0$ .

Aufgabe 6 (i)

Einfach

Bestimme Monotonie- und Symmetrieeigenschaften von $f (x) = 2 x^{3}$ .

Aufgabe 6 (ii)

Einfach

Bestimme Monotonie- und Symmetrieeigenschaften von

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 1 .

Zusammenfassung

Wichtige Erkenntnisse

Wurzelgleichungen stets mit Probe abschließen (Scheinlösungen!).
Biquadratische Gleichungen mit $z = x^{2}$ linearisieren, dann rücksubstituieren.
Betragsgleichungen/-ungleichungen sauber per Fallunterscheidung + Zulässigkeitsprüfung lösen.
Rationale Ungleichungen via Vorzeichen-/Intervallmethode (kritische Stellen: Nullstellen von Zähler & Nenner).
Horner/Polynomdivision: Nach jeder Nullstelle polynomgradweise reduzieren.
Monotonie & Symmetrie: Gerade/ungerade prüfen, Ableitung für Wachstum/Extrema nutzen.