Mathe I – Tutorium 4 (Interaktiv)

Definitionsbereich bei Wurzel-Ausdrücken

Einführung & Vorgehen

Ziel: Finde alle $x$ , für die der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) nicht negativ ist.
Regel: Für reelle Zahlen gilt: $\cdot$ ist nur definiert, wenn der Radikand nicht negativ ist.
Vorgehen: Setze den Radikanden nicht negativ, löse die entstehende Ungleichung (oft über Beträge oder Fallunterscheidung), und formuliere den Definitionsbereich.
Typische Fehler: Aus $a^{2} \geq b^{2}$ folgt nicht $a \geq \pm b$ . Korrekt ist der Weg über den Betrag: $a^{2} \geq b^{2} ⟺ ∣ a ∣ \geq ∣ b ∣$ .

Aufgabe 1

Bestimme den maximalen Definitionsbereich von $f (x) = (2 x - 4)^{2} - 1$ .

Quadratische Funktionen (Produktform & Scheitelpunktsform)

Einführung & Vorgehen

Produktform: Faktorisiere $f (x) = a x^{2} + b x + c$ zu $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ über Nullstellen (raten, p‑q‑Formel, Mitternachtsformel).
Scheitelpunktsform: Ergänze quadratisch: $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ ; der Scheitel ist $S = (h, k)$ .
Kontrolle: Ausmultiplizieren muss wieder das Start‑Polynom ergeben.

Aufgabe 2 (i)

Bringe $f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ in Produktform und Scheitelpunktsform.

Aufgabe 2 (ii)

Bringe $f (x) = - x^{2} + 3 x + 4$ in Produktform und Scheitelpunktsform.

Gebrochen‑rationale Funktionen (Faktorisieren, Lücken, Pole, Asymptoten)

Einführung & Vorgehen

Faktorisieren: Zähler und Nenner getrennt (Horner, p‑q‑Formel, Gruppieren).
Definitionsbereich: Alle reellen $x$ , für die der Nenner $\neq = 0$ ist.
Hebbare Lücke: Gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner (nach Kürzen bleibt eine „Lochstelle“).
Polstelle: Nenner $= 0$ nach dem Kürzen (nicht aufgehoben) → Singulärität.
Asymptoten: Gradvergleich oder Polynomdivision (horizontale/schiefe Asymptote).

Sehr wichtig und Klausurrelevant!

Aufgabe 3 (1)

Untersuche

f (x) = \frac{2 x ^{3} - x ^{2} - 2 x + 1}{- x ^{4} + 6 x ^{3} - 8 x ^{2} - 6 x + 9}

bezüglich Faktorisierung, Definitionsbereich, hebbarer Lücken, Nullstellen, Polstellen und Verhalten für $∣ x ∣ \to \infty$ .

Aufgabe 3 (2)

Untersuche

g (x) = \frac{3 x ^{3} - 9 x ^{2} - 3 x + 9}{2 x ^{2} + 8 x + 6}

wie in Aufgabe 3 (1) und bestimme zusätzlich die schiefe Asymptote.

Grad ↔ Bogenmaß

Einführung & Vorgehen

Grundlage: Eine ganze Umdrehung entspricht $36 0^{\circ} = 2 π$ (Bogenmaß).
Umrechnung: $α_{rad} = α_{deg} \cdot \frac{2 π}{36 0 ^{\circ}} = α_{deg} \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}}$ und umgekehrt.
Heuristik: Viertelkreis $9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$ , Halbkreis $18 0^{\circ} = π$ , Dreiviertel $27 0^{\circ} = \frac{3 π}{2}$ .

Aufgabe 4

Rechne um:

$12 0^{\circ}$ in Bogenmaß
$27 0^{\circ}$ in Bogenmaß
$\frac{11 π}{2}$ in Grad
$\frac{5}{6} π$ in Grad

Termumformungen (richtig/falsch) mit Begründung

Einführung & Vorgehen

Prüfe Regeln: Wurzel- und Potenzgesetze, Bruchregeln, Betragseigenschaften.
Gegenbeispiel‑Strategie: Wenn unsicher, setze einfache Zahlen ein (z. B. $a = 1, b = 4$ ).

Aufgabe 5

Beurteile und begründe kurz:

$4 + b = 2 + b$
$9 b = 3 b$
$(4 a + 16)^{2} = 16 (a + 4)^{2}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}$
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$
$(x + y)^{- 1} = x^{- 1} + y^{- 1}$
$- 2 x + 6 = 8 ⟺ x + 3 = - 4$
$4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} = (2 x + 3 y)^{2}$
$∣ 2 x + 16 ∣ = 2∣ x + 8∣$
$∣ - 4 a + 8 ∣ = - 4∣ 4 a - 8 ∣$

Einheitenrechnen

Einführung & Vorgehen

Präfixe: kilo $= 1 0^{3}$ , Mega $= 1 0^{6}$ , centi $= 1 0^{- 2}$ , etc.
Definitionen: $1 bar = 1 0^{5} Pa = 10 N/c m^{2}$ ; $1 L = 1 d m^{3}$ .
Strategie: Schrittweise in Basiseinheiten umrechnen, dann ggf. wieder zusammensetzen.

Aufgabe 6

Rechne um:

$1 km$ in m
$21 MPa$ in $N/ m^{2}$ und bar
$70 km/h$ in m/s
$1 m^{3}$ in $d m^{3}$ und L
$2 0^{\circ} C$ in K
$1 Ws$ in kWh
$70, 3 ha$ in $k m^{2}$

Trigonometrie: Sinus & Tangens in Anwendungen

Einführung & Vorgehen

Sinus: $sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} \Rightarrow$ Höhe $h = c sin α$ .
Tangens: $tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{d y}{d x} \Rightarrow$ Steigung in $%$ ist $tan (α) \cdot 100%$ .
Winkel aus Steigung: $α = arctan (m)$ bei Steigung $m = f^{'} (x)$ .

Aufgabe 7 (1)

Gegeben

α = 3 0^{\circ}

und Hypotenuse

c

. Bestimme die Höhe

h (c)

Aufgabe 7 (2)

Eine Straße hat Neigungswinkel

8^{\circ}

. Wie groß ist die Steigung in Prozent?

Aufgabe 7 (3)

Gegeben

f (x) = \frac{13}{240} x^{5} - \frac{17}{24} x^{4} + \frac{157}{48} x^{3} - \frac{151}{24} x^{2} + \frac{187}{40} x .

Bestimme $f^{'} (x)$ und erkläre, wie man aus $f^{'} (x)$ die Steilheit $α (x)$ in Grad berechnet.

Standardwerte von $sin$ und $cos$

Einführung & Vorgehen

Präge dir für $α = 0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, \dots$ die Werte ein.
Merkschema: Für $sin$ die Folge $\frac{k}{2}$ mit $k = 0, 1, 2, 3, 4$ (aufsteigend), für $cos$ die gleiche Folge (absteigend).
Vorzeichenwechsel in den Quadranten beachten.

Aufgabe 8

Vervollständige die Standardwerte-Tabelle.

Definitionsbereich bei Wurzel-Ausdrücken

Einführung & Vorgehen

Aufgabe 1

Quadratische Funktionen (Produktform & Scheitelpunktsform)

Einführung & Vorgehen

Aufgabe 2 (i)

Aufgabe 2 (ii)

Gebrochen‑rationale Funktionen (Faktorisieren, Lücken, Pole, Asymptoten)

Einführung & Vorgehen

Sehr wichtig und Klausurrelevant!

Aufgabe 3 (1)

Aufgabe 3 (2)

Grad ↔ Bogenmaß

Einführung & Vorgehen

Aufgabe 4

Termumformungen (richtig/falsch) mit Begründung

Einführung & Vorgehen

Aufgabe 5

Einheitenrechnen

Einführung & Vorgehen

Aufgabe 6

Trigonometrie: Sinus & Tangens in Anwendungen

Einführung & Vorgehen

Aufgabe 7 (1)

Aufgabe 7 (2)

Aufgabe 7 (3)

Standardwerte von sin und cos

Einführung & Vorgehen

Aufgabe 8

Standardwerte von $sin$ und $cos$