Tutorium II: Mengen, Betragsgleichungen und komplexe Zahlen

24. September 2025

Mengenoperationen mit Infimum/Supremum, Minimum/Maximum sowie Lösungsverfahren für Betragsgleichungen und komplexe Zahlen

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Sammlungen

Mathe I – Lineare Algebra & Analysis

Dieses Tutorium behandelt die fundamentalen Konzepte von Infimum und Supremum bei Mengen sowie systematische Lösungsverfahren für Betragsgleichungen. Zusätzlich werden Grundlagen der komplexen Zahlen und deren Rechenoperationen erarbeitet.

Intervalle und Schranken

Grundlegende Begriffe

Definitionen

Minimum und Maximum existieren nur, wenn die Zahl zur Menge gehört (eckige Klammern bei Intervallen).

Infimum und Supremum existieren immer für beschränkte Mengen, müssen aber nicht zur Menge gehören. Infimum/Minimum sowie Supremum/Maximum können gleich sein.

Aufgaben

Aufgabe 1 (i)

Einfach

Gebe die Menge $M = {x \in R ∣0 \leq x \leq 2}$ in Intervallschreibweise an und bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

Aufgabe 1 (ii)

Einfach

Bestimme für $N = {x \in R ∣ x \leq 1 \land x > - 4}$ alle Schranken.

Aufgabe 1 (iii)

Einfach

Bestimme für $O = {x \in R ∣ x \leq 1}$ die Intervallschreibweise und alle Schranken.

Aufgabe 1 (iv)

Einfach

Bestimme für $P = {x \in R ∣ x > 1 \land x < - 4}$ die Intervallschreibweise und alle Schranken.

Aufgabe 1 (v)

Einfach

Bestimme für $Q = {x \in R ∣ - 1 \leq x < 0} \cup {x \in R ∣0 < x \leq 1} \cup {0}$ die Intervallschreibweise und alle Schranken.

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen lösen

Verwende die p-q-Formel oder abc-Formel

Eingabe

x^2 - 5\,x + 6 = 0

Lösung

Komplexe Lösungen anzeigen

\mathbb{L}= \{ 3 \quad , \quad 2 \}

Quadratische Gleichungen • pq/abc • Reelle Lösungen

Lösungsverfahren

Aufgabe 2: Quadratische Gleichungen lösen

Mittel

Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden Gleichungen:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$(4 - x)^{2} = 0$
$- x^{2} + 3 x = 0$
$2 x^{2} + 16 x + 26 = 2$

Kubische und Biquadratische Gleichungen

Aufgabe 3 – Kubische Gleichungen

Mittel

Gib die Lösungsmenge der Gleichung $x^{3} = 2 x^{2} + 8 x$ an.

Aufgabe 3 – Biquadratische Gleichungen

Mittel

Gib die Lösungsmenge der Gleichung $x^{4} - 3 x^{2} + \frac{3}{4} = - x^{2}$ an.

Betragsgleichungen

Lösungsschema für einfache Betragsgleichungen

Systematisches Vorgehen

Fallunterscheidung nach Vorzeichen des Terms im Betrag
Kandidaten bestimmen für jeden Fall
Zulässigkeitsbereich prüfen für jeden Kandidaten
Vereinigung aller gültigen Lösungen

Betragsgleichung mit Fallunterscheidung

Mittel

Löse die Gleichung $∣3 x - 5∣ = 10 - 2 x$ .

Doppelbetragsgleichungen

Gleichung mit zwei Beträgen

Schwer

Löse $∣2 x - 4∣ - 1 = ∣ - x + 2∣$ .

Komplexe Zahlen

Grundoperationen

Rechenregeln

Bei der Division komplexer Zahlen erweitert man mit der komplex Konjugierten des Nenners:

$\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}$

Komplexe Arithmetik

Einfach

Berechne für $z_{1} = 7 + 14 i$ und $z_{2} = 1 + 7 i$ : Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Quadratische Gleichungen im Komplexen

Komplexe Nullstellen

Mittel

Löse $z^{2} + 4 = 0$ über $C$ .

Gleichung mit komplexen Koeffizienten

Schwer

Löse $z^{2} - i z + 6 = 0$ .