Tutorium II: Mengen, Betragsgleichungen und komplexe Zahlen

24. September 2025

Mengenoperationen mit Infimum/Supremum, Minimum/Maximum sowie Lösungsverfahren für Betragsgleichungen und komplexe Zahlen

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Sammlungen

Mathe I – Lineare Algebra & Analysis

Dieses Tutorium behandelt die fundamentalen Konzepte von Infimum und Supremum bei Mengen sowie systematische Lösungsverfahren für Betragsgleichungen. Zusätzlich werden Grundlagen der komplexen Zahlen und deren Rechenoperationen erarbeitet.

Intervalle und Schranken

Grundlegende Begriffe

Definitionen

Minimum und Maximum existieren nur, wenn die Zahl zur Menge gehört (eckige Klammern bei Intervallen).

Infimum und Supremum existieren immer für beschränkte Mengen, müssen aber nicht zur Menge gehören. Infimum/Minimum sowie Supremum/Maximum können gleich sein.

Aufgaben

Aufgabe 1 (i)

Einfach

Gebe die Menge $M = {x \in R ∣0 \leq x \leq 2}$ in Intervallschreibweise an und bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

Aufgabe 1 (ii)

Einfach

Bestimme für $N = {x \in R ∣ x \leq 1 \land x > - 4}$ alle Schranken.

Aufgabe 1 (iii)

Einfach

Bestimme für $O = {x \in R ∣ x \leq 1}$ die Intervallschreibweise und alle Schranken.

Aufgabe 1 (iv)

Einfach

Bestimme für $P = {x \in R ∣ x > 1 \land x < - 4}$ die Intervallschreibweise und alle Schranken.

Aufgabe 1 (v)

Einfach

Bestimme für $Q = {x \in R ∣ - 1 \leq x < 0} \cup {x \in R ∣0 < x \leq 1} \cup {0}$ die Intervallschreibweise und alle Schranken.

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen lösen

Verwende die p-q-Formel oder abc-Formel

Eingabe

x^2 - 5\,x + 6 = 0

Lösung

Komplexe Lösungen anzeigen

\mathbb{L}= \{ 3 \quad , \quad 2 \}

Quadratische Gleichungen • pq/abc • Reelle Lösungen

Lösungsverfahren

Aufgabe 2: Quadratische Gleichungen lösen

Mittel

Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden Gleichungen:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$(4 - x)^{2} = 0$
$- x^{2} + 3 x = 0$
$2 x^{2} + 16 x + 26 = 2$

Kubische und Biquadratische Gleichungen

Aufgabe 3 – Kubische Gleichungen

Mittel

Gib die Lösungsmenge der Gleichung $x^{3} = 2 x^{2} + 8 x$ an.

Aufgabe 3 – Biquadratische Gleichungen

Mittel

Gib die Lösungsmenge der Gleichung $x^{4} - 3 x^{2} + \frac{3}{4} = - x^{2}$ an.

Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen und die Probe

Beim Quadrieren können neue Lösungen entstehen, die nicht zur ursprünglichen Gleichung passen (sogenannte Scheinlösungen). Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, ist es wichtig, die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen und zu überprüfen, ob sie tatsächlich gültig sind. Dies wird als Probe bezeichnet. Die Möglichen Lösungen der Kandidatenmenge werden in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt und überprüft, ob beide Seiten übereinstimmen. Also Linksseitig und Rechtseitig separat berechnen und vergleichen.

Vorgehen:

Beide Seiten quadrieren (nicht äquivalent, daher $⟹$ statt $⟺$ )
Lösung(en) der quadratischen Gleichung bestimmen
Jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen (Probe), linke und rechte Seite separat berechnen und vergleichen
Nur die Lösungen, bei denen beide Seiten übereinstimmen, in die Lösungsmenge aufnehmen.

4(1): Wurzelgleichung mit Probe

Mittel

Löse die Gleichung:

x^{2} - 9 = x - 3

4(2): Wurzelgleichung mit Probe

Mittel

Löse die Gleichung:

x^{2} - 2 = x + 1

Betragsgleichungen

Lösungsschema für einfache Betragsgleichungen

Systematisches Vorgehen

Fallunterscheidung nach Vorzeichen des Terms im Betrag. Und somit zulässigen Bereich für jeden Fall bestimmen.
Kandidaten bestimmen für jeden Fall
Zulässigkeitsbereich prüfen: Liegen Kandidaten im zulässigen Bereich?
Vereinigung aller gültigen Lösungen zu einer Lösungsmenge.

4(3) Betragsgleichung mit Fallunterscheidung

Mittel

Löse die Gleichung $∣3 x - 5∣ = 10 - 2 x$ .

4(4) Betragsgleichung mit Fallunterscheidung

Mittel

Löse die Gleichung $∣2 x + 8∣ = x^{2}$ .

Doppelbetragsgleichungen

Vorgehen beim Lösen von Doppelbetragsgleichungen

Fallunterscheidung: für beide Seiten die jeweiligen Fälle bilden. Hiervon muss man dann alle Kombinationsmöglichkeiten betrachten. (Da jede Seite zwei Fälle hat, ergeben sich insgesamt vier Fälle). Diese verbindet man mit UND-Verknüpfungen. Beispiel:

1. Term: positiv \land 2. Term: positiv 1. Term: positiv \land 2. Term: negativ 1. Term: negativ \land 2. Term: positiv 1. Term: negativ \land 2. Term: negativ

Kandidaten bestimmen für jeden Fall
Zulässigkeitsbereich prüfen: Liegen Kandidaten im zulässigen Bereich?
Vereinigung aller gültigen Lösungen zu einer Lösungsmenge.

Gleichung mit zwei Beträgen

Schwer

Löse $∣2 x - 4∣ - 1 = ∣ - x + 2∣$ .

Komplexe Zahlen

Grundoperationen

Rechenregeln für komplexe Zahlen

Addition:

(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Subtraktion:

(a + bi) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i

Multiplikation:

(a + bi) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i

Division:
Bei der Division komplexer Zahlen erweitert man mit der komplex Konjugierten. Die Komplex konjugierte einer komplexen Zahl $z = a + bi$ ist definiert als $\overline{z} = a - bi$ .

Damit ergibt sich für die Division:

\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}

6(i) Komplexe Arithmetik

Einfach

Berechne für

z_{1} = 7 + 14 i

und

z_{2} = 1 + 7 i

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

6(ii) Komplexe Arithmetik

Einfach

Berechne für

z_{1} = 3 i

und

z_{2} = 5 i

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

6(iii)Komplexe Arithmetik

Mittel

Berechne für

z_{1} = \frac{2}{i}

und

z_{2} = 1

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

6(iv)Komplexe Arithmetik

Einfach

Berechne für

z_{1} = 5

und

z_{2} = 2

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

6(v)Komplexe Arithmetik

Einfach

Berechne für

z_{1} = 0

und

z_{2} = 2 + 3 i

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

6(vi)Komplexe Arithmetik

Einfach

Berechne für

z_{1} = i

und

z_{2} = i

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Verschiedene Gleichungen

Beachte hier, dass du mittels komplexe Zahlen auch Gleichungen lösen kannst, die im reellen Zahlenraum keine Lösung haben. Es ergeben sich dann komplexe Lösungen.

Quadratische Gleichungen lösen

Verwende die p-q-Formel oder abc-Formel

Eingabe

x^2 + 1\,x + 1 = 0

Lösung

Komplexe Lösungen anzeigen

\mathbb{L}= \emptyset

Keine reellen Lösungen (D < 0)

Quadratische Gleichungen • pq/abc • Reelle Lösungen

7(i) Komplexe Nullstellen

Mittel

Löse $z^{2} + 4 = 0$ .

7(ii)

Einfach

Löse $z^{2} + 4 z + 4 = 0$ .

7(iii) Gleichung mit komplexen Koeffizienten

Mittel

Löse $z^{2} - 4 i z - 4 = 0$ .

7(iv) Gleichung mit komplexen Koeffizienten

Schwer

Löse $z^{2} - i z + 6 = 0$ .