Tutorium 1: Grundlagen der Mathematik

24. September 2025

Übungsaufgaben zur Mengenlehre, Abbildungen, Logik, quadratische Gleichungen und Binomialkoeffizienten

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Mathe I – Lineare Algebra & Analysis

Dieses Tutorium behandelt fundamentale mathematische Konzepte, die als Basis für das weitere Studium dienen. Wir beginnen mit Mengenlehre, untersuchen Abbildungen und ihre Eigenschaften, arbeiten mit Aussagenlogik und lösen quadratische Gleichungen sowie Binomialkoeffizienten.

Mengenlehre

Aufgabe 1: Mengenoperationen

Einfach

Es sind folgende Mengen gegeben: $A = {1, 3, 5}$ , $B = {2, 4, 6, 8}$ und $C = {n \in N ∣ 0 < n < 8}$ .

Geben Sie an:

$∣ A ∣$ , $∣ B ∣$ , $∣ C ∣$
$A \cap B$
$A \cup B$
$A \cap C$
$C ∖ A$

Aufgabe 2: Rechenregeln für Mengen

Mittel

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke, wobei $A \subseteq N$ und $B \subseteq N$ :

$A \cap (A \cap B)$
$A \cup ((B \cap \overset{ˉ}{B}) \cup (\overset{ˉ}{A} \cup A))$

Abbildungen

Wichtige Begriffe

Injektiv: Verschiedene Elemente im Definitionsbereich werden auf verschiedene Elemente abgebildet (keine zwei Pfeile treffen dasselbe Element).

Surjektiv: Jedes Element im Zielbereich wird getroffen (alle Elemente rechts haben mindestens einen Pfeil).

Bijektiv: Sowohl injektiv als auch surjektiv (genau eine Umkehrabbildung existiert).

Aufgabe 3: Eigenschaften von Abbildungen

Mittel

Sind die nachfolgenden Abbildungen injektiv, surjektiv und/oder bijektiv? Es ist $R_{0}^{+} = [0, \infty)$ .

$f : N \to N, x \mapsto x^{2}$
$f : Z \to N_{0}, x \mapsto x^{2}$
$f : R_{0}^{+} \to R_{0}^{+}, x \mapsto x^{2}$

Aussagenlogik

Aufgabe 4: Wahrheitstafel

Mittel

Zeigen oder widerlegen Sie mit einer Wahrheitstafel:

A \land (B \lor C) \Leftrightarrow (A \lor C) \land (B \lor C)

Quadratische Gleichungen

Aufgabe 5: Quadratische Gleichungen lösen

Mittel

Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden Gleichungen:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$(4 - x)^{2} = 0$
$- x^{2} + 3 x = 0$
$2 x^{2} + 16 x + 26 = 2$

Binomialkoeffizienten

Pascalsches Dreieck

Erkunde (a + b)^n mit dem Pascal’schen Dreieck. Wähle n, sieh die Terme und setze Werte für a und b ein.

Allgemein

(a + b)^{3} =

a^{3}

+

a^{2}\,\cdot\,b

+

a\,\cdot\,b^{2}

+

b^{3}

Stufe n = 3

Passe n an, um weitere Reihen zu sehen

Aufgabe 6a: Binomialkoeffizienten

Schwer

Teil a) Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten:

$(2 5)$
$(4 6)$
$(4 4)$
$(1 n)$
$(n n)$

Aufgabe 6b: Beweis der Additionsregel

Schwer

Teil b) Beweisen Sie die Additionsregel der Binomialkoeffizienten:

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

für alle $n \in N_{0}$ und $0 \leq k < n$ .

Aufgabe 7: Anwendung des Pascalschen Dreiecks

Schwer

Berechnen Sie mit Hilfe des Pascalschen Zahlendreiecks (ohne Taschenrechner!):

$(a + 5)^{3}$
$(x - y)^{4}$
$(a - b)^{5}$
$9^{4}$

Zusammenfassung

Wichtige Erkenntnisse

Mengenlehre: Die Grundoperationen (Schnitt, Vereinigung, Differenz) bilden die Basis für viele mathematische Konzepte
Abbildungen: Die Eigenschaften injektiv, surjektiv und bijektiv hängen stark vom Definitions- und Zielbereich ab
Logik: Wahrheitstafeln sind ein systematisches Werkzeug zur Überprüfung logischer Äquivalenzen
Quadratische Gleichungen: Die pq-Formel ist universell anwendbar, aber manchmal sind alternative Methoden effizienter
Binomialkoeffizienten: Das Pascalsche Dreieck verbindet Kombinatorik mit Algebra auf elegante Weise