Bruchrechnung

🎯 Lernziele: Brüche als verschiedene Konzepte verstehen, alle Grundrechenarten mit Brüchen sicher durchführen, Brüche in Anwendungen nutzen

📋 Was ist ein Bruch? (5 Bedeutungen)

1. Als Größe

$\frac{3}{4}$ = "Drei Viertel einer Einheit"

• $\frac{3}{4}$ Kuchen, $\frac{3}{4}$ Liter, $\frac{3}{4}$ Stunde

2. Als Verhältnis

$3:4$ = "3 zu 4" → $\frac{3}{4}$

• Mischungsverhältnis, Maßstab

3. Als Prozentsatz

$\frac{3}{4}=0,75=75\%$

• Prozentrechnungen, Statistiken

4. Als Division

$\frac{3}{4}=3÷4=0,75$

• Bruch ist "unterbrochene Division"

5. Als Anteil

3 von 4 Teilen → $\frac{3}{4}$

• Wahrscheinlichkeiten, Anteile

🔧 Grundoperationen mit Brüchen

Erweitern und Kürzen

Grundregel: Zähler UND Nenner mit derselben Zahl multiplizieren/dividieren

Erweitern: $\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}$

Kürzen: $\frac{8}{12}=\frac{8÷4}{12÷4}=\frac{2}{3}$

💡 Vollständig kürzen: Durch größten gemeinsamen Teiler (ggT) $\frac{18}{24}=\frac{18÷6}{24÷6}=\frac{3}{4}$

➕ Addition und Subtraktion

Regel: Gleicher Nenner erforderlich!

Gleichnamige Brüche

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}$

$\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=\frac{5-2}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Ungleichnamige Brüche

Methode: Hauptnenner finden (kgV der Nenner)

Beispiel: $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$

1. Hauptnenner: $\text{kgV}(4,6)=12$

2. Erweitern: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$, $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$

3. Addieren: $\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$

Häufige Hauptnenner

Nenner	Häufiger Hauptnenner (HN)
2, 3	6
4, 6	12
3, 5	15
4, 8	8

Etwas zum rumspielen

✖️ Multiplikation

Regel: Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren

$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

💡 Trick: Vor dem Multiplizieren kürzen! $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{2\cdot 9}{3\cdot 4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$

Besser: $\frac{2}{\cancel{3}}\cdot \frac{\cancel{3}\cdot 3}{4}=\frac{2\cdot 3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

➗ Division

Regel: Mit Kehrwert multiplizieren!

$\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

Kehrwert-Bildung:

• $\frac{3}{4}\to \frac{4}{3}$

• $5\to \frac{1}{5}$

• $\frac{1}{7}\to 7$

🔢 Gemischte Zahlen

Umwandlung: Ganze Zahl + Bruch ↔ Unechter Bruch

In unechten Bruch: $2\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 4+3}{4}=\frac{11}{4}$

In gemischte Zahl: $\frac{11}{4}=2\text{ Rest }3=2\frac{3}{4}$

⚠️ Häufige Fehler

Falsches Addieren

❌ $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{2}{7}$ (Zähler + Zähler, Nenner + Nenner)

✅ $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$

Vergessenes Kürzen

❌ $\frac{6}{8}$ stehen lassen

✅ $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Division-Verwechslung

❌ $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

✅ $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$

Hauptnenner-Fehler

❌ Bei $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$ HN $=4\cdot 6=24$ verwenden

✅ Bei $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$ HN $=\text{kgV}(4,6)=12$ verwenden

🎯 Anwendungsbeispiele

Kochrezept

"Für 6 Personen brauche ich 2/3 Liter Milch. Wie viel für 9 Personen?"

Lösung:

• Pro Person: $\frac{2/3}{6}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$ Liter
• Für 9 Personen: $\frac{1}{9}\cdot 9=1$ Liter

Zeitberechnung

"Ich brauche 3/4 Stunden für eine Aufgabe. Wie viele Minuten sind das?"

Lösung: $\frac{3}{4}\cdot 60=\frac{180}{4}=45$ Minuten

🔄 Übungstypen

Typ 1: Grundrechenarten

Typ 2: Komplexe Terme

Typ 3: Textaufgaben

🎲 Wichtige Bruch-Merkwerte

Häufige Brüche als Dezimalzahlen:

Bruch	Dezimalzahl
1/2	0,5
1/3	0,333...
2/3	0,666...
1/4	0,25
3/4	0,75
1/5	0,2
2/5	0,4
3/5	0,6
4/5	0,8
1/8	0,125
3/8	0,375
5/8	0,625
7/8	0,875