Mathematische Definitionen

Von Zahlenmengen über Gleichungen bis zu Funktionen - Das mathematische Fundament für das Studium

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Einführung

Willkommen zum dritten Kapitel unseres Mathematik-Vorkurses! Nachdem wir die Grundlagen der Arithmetik und Bruchrechnung gemeistert haben, tauchen wir nun in die Welt der mathematischen Definitionen ein.

In diesem Kapitel lernen Sie:

• Die wichtigsten Zahlenmengen kennen und unterscheiden
• Gleichungen systematisch lösen
• Funktionen definieren und verstehen

🔢 Die Zahlenwelten - Zahlenmengen verstehen

Natürliche Zahlen ($\mathbb{N}$)

Die natürlichen Zahlen sind unsere "Zählzahlen": $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,...\}$

Merkhilfe: "Natürlich" zählen wir von 1 aufwärts!

Anwendungsbeispiele:

• "5 Äpfel im Korb"
• "12 Studierende in der Vorlesung"

Ganze Zahlen ($\mathbb{Z}$)

Erweitern wir die natürlichen Zahlen um Null und negative Zahlen: $\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

Merkhilfe: "Z" wie "Zahlen" - alle ganzen Zahlen!

Anwendungsbeispiele:

• "-5°C" (Temperatur unter dem Gefrierpunkt)
• "50m über dem Meeresspiegel"

Rationale Zahlen ($\mathbb{Q}$)

Alle Zahlen, die als Bruch darstellbar sind: $\mathbb{Q}=\{a/b\mid a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0\}$

Merkhilfe: "Q" wie "Quotient" - alle Brüche!

Beispiele:

• 1/2 = 0,5
• 3/4 = 0,75
• -2/3 = -0,666...
• 5 = 5/1 (jede ganze Zahl ist auch rational!)

Reelle Zahlen ($\mathbb{R}$)

Alle Zahlen auf der Zahlengeraden, einschließlich irrationaler Zahlen: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \{\text{irrationale Zahlen}\}$

Merkhilfe: "R" wie "Real" - alle "echten" Zahlen auf der Zahlenlinie!

Komplexe Zahlen ($\mathbb{C}$)

Zahlen der Form a + bi (werden im Grundstudium eingeführt): $\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{R},i^2=-1\}$

📏 Intervallnotation - Bereiche elegant beschreiben

Geschlossene Intervalle [a, b]

Definition: Alle Zahlen x mit a ≤ x ≤ b
Bedeutung: Endpunkte sind enthalten

Beispiel: [1, 5] enthält 1, 2, 3, 4, 5 und alle Zahlen dazwischen

Offene Intervalle (a, b)

Definition: Alle Zahlen x mit a < x < b
Bedeutung: Endpunkte sind NICHT enthalten

Beispiel: (0, 10) enthält alle Zahlen zwischen 0 und 10, aber nicht 0 und 10 selbst

Halboffene Intervalle

• [a, b): a ist enthalten, b nicht
• (a, b]: a ist nicht enthalten, b ist enthalten

Unendliche Intervalle

• [0, ∞): Alle Zahlen ≥ 0
• (-∞, 5]: Alle Zahlen ≤ 5
• $(-\infty ,\infty )$: Alle reellen Zahlen (= $\mathbb{R}$)

⚖️ Gleichungen verstehen und lösen

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine Aussage, dass zwei mathematische Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 2x + 3 = 11

Äquivalenzumformungen - Die goldenen Regeln

Regel 1: Gleiche Zahl zu beiden Seiten addieren/subtrahieren

$$\begin{array}{rlrl}2x+3& =11& & |-3\\ 2x& =8& & \end{array}$$

Regel 2: Beide Seiten mit derselben Zahl (≠ 0) multiplizieren/dividieren

$$\begin{array}{rlrl}2x& =8& & |:2\\ x& =4& & \end{array}$$

Regel 3: Beide Seiten potenzieren (Vorsicht bei geraden Exponenten!)

$$\begin{array}{rlrl}\sqrt{x}& =3& & |({)}^2\\ x& =9& & \end{array}$$

Lösungsschema für lineare Gleichungen

📈 Funktionen - Mathematische Maschinen

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus dem Definitionsbereich D genau ein Element y aus dem Wertebereich W zu.

Schreibweise: $f:D\to W,y=f(x)$

Definitionsbereich bestimmen

Beispiele mit Erklärung:

$f(x)=\frac{1}{x-3}$

• Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$
• Begründung: Bei x = 3 würde der Nenner null werden

$g(x)=\sqrt{x-1}$

• Definitionsbereich: $D=[1,\infty )$
• Begründung: Unter der Wurzel muss x-1 ≥ 0 sein

$h(x)=\ln (2x-4)$

• Definitionsbereich: $D=(2,\infty )$
• Begründung: Im Logarithmus muss 2x-4 > 0 sein

Wertebereich bestimmen

Frage: Welche y-Werte kann die Funktion annehmen?

Beispiele:

$f(x)=x^2$ (für $x\in \mathbb{R}$)

• Wertebereich: $W=[0,\infty )$
• Begründung: Quadratzahlen sind nie negativ

$g(x)=\sin (x)$

• Wertebereich: $W=[-1,1]$
• Begründung: Sinus schwankt zwischen -1 und 1

Umkehrfunktionen - Den Prozess rückgängig machen

Idee: Wenn $f(a)=b$, dann soll $f^{-1}(b)=a$ sein.

Voraussetzung: Die Funktion muss injektiv (eineindeutig) sein. Das bedeutet: Jeder y-Wert kommt höchstens einmal vor.

🛠️ Praktische Anwendungen

Beispiel 1: Handytarif-Vergleich

Tarif A: 10€ Grundgebühr + 0,15€/Min
Tarif B: 5€ Grundgebühr + 0,20€/Min

Funktionen:

• A(x) = 10 + 0,15x
• B(x) = 5 + 0,20x

Beispiel 2: Wassertank-Problem

Ein 1000L Tank wird mit 50L/Min gefüllt.

Funktion: V(t) = 50t (für t ≤ 20)

• Definitionsbereich: [0, 20] (Tank läuft nach 20 Min über)
• Wertebereich: [0, 1000]

🔧 Häufige Fehler vermeiden

Klassischer Fehler: Division durch Variable

❌ Falsch:

$$\begin{array}{rlrl}{x}^2& =5x& & |:x\\ x& =5& & \end{array}$$

Problem: Die Lösung x = 0 wurde "verloren"!

✅ Richtig:

$$\begin{array}{rlrl}{x}^2& =5x& & |-5x\\ x^2-5x& =0& & |\text{Faktorisieren}\\ x(x-5)& =0& & |\text{Nullregel}\\ & & & \\ x& =0& & \\ \text{ oder }x& =5& & \end{array}$$

Definitionsbereich nicht vergessen

❌ Falsch: Bei $f(x)=\sqrt{x^2}$ ist $f(x)=x$ für alle $x\in \mathbb{R}$

Problem: √((-2)²) = √4 = 2 ≠ -2

✅ Richtig: f(x) = √(x²) = |x|

📋 Cheat Sheet - Schnellreferenz

Zahlenmengen-Hierarchie

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

Intervall-Notation

Notation	Bedeutung	Beispiel
[a,b]	a ≤ x ≤ b	[1,5]
(a,b)	a < x < b	(0,10)
[a,b)	a ≤ x < b	[0,1)
(a,∞)	x > a	(5,∞)

Definitionsbereich-Checks

• Bruch: Nenner ≠ 0
• Wurzel: Radikand $\ge 0$ (in $\mathbb{R}$)
• Logarithmus: Argument > 0

Umkehrfunktion finden

1. y = f(x) schreiben
2. Nach x auflösen
3. x ↔ y vertauschen

🎯 Übungsaufgaben

💡 Zusammenfassung

Diese Konzepte sind fundamental für alle weiteren mathematischen Themen. Üben Sie diese Grundlagen intensiv - sie werden Ihr mathematisches Fundament für das gesamte Studium!

Im nächsten Kapitel beschäftigen wir uns mit Proportionalität und Prozentrechnung - den praktischen Anwendungen dieser Konzepte im Alltag.