Begriffe und Rechenregeln

13. September 2025

Mathematische Grundsprache beherrschen, Rechengesetze sicher anwenden, binomische Formeln erkennen und verwenden

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Sammlungen

Mathe I – Lineare Algebra & Analysis

🎯 Lernziele: Mathematische Grundsprache beherrschen, Rechengesetze sicher anwenden, binomische Formeln erkennen und verwenden

📋 Schnellübersicht

Mathematische Terme

Definition: Mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen, Klammern und Operationszeichen

Keine Relationszeichen (=, >, $<$ , ≤, ≥)
Grundoperationen: +, -, ·, :

Komponenten von Termen

Addition: $a + b = c$ (Summand + Summand = Summe)

Subtraktion: $a - b = c$ (Minuend - Subtrahend = Differenz)

Multiplikation: $a \cdot b = c$ (Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt)

Division: $a : b = c$ (Dividend : Divisor = Quotient)

Potenzierung: $a^{n} = c$ (Basis $^{Exponent}$ = Potenz)

🔧 Rechengesetze (Unbedingt merken!)

1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Addition: $a + b = b + a$
Multiplikation: $a \cdot b = b \cdot a$

Beispiele:

$3 + 7 = 7 + 3 = 10$
$4 \cdot 5 = 5 \cdot 4 = 20$

⚠️ Achtung: Gilt NICHT für Subtraktion und Division!

$7 - 3 \neq = 3 - 7$
$8 : 2 \neq = 2 : 8$

2. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

Addition: $(a + b) + c = a + (b + c)$
Multiplikation: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Beispiele:

$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$
$(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24$

3. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Ausmultiplizieren: $a (b + c) = ab + a c$
Ausklammern: $ab + a c = a (b + c)$

Beispiele:

$3 (x + 4) = 3 x + 12$
$5 x + 15 = 5 (x + 3)$

Wende das Distributivgesetz an:

4 (x + 7) = ?

📐 Binomische Formeln (Unverzichtbar!)

1. Binomische Formel

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Merkhilfe: "Erste Quadrat + Zweimal Erste mal Zweite + Zweite Quadrat"

Beispiele:

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$
$(2 a + 5)^{2} = 4 a^{2} + 20 a + 25$

2. Binomische Formel

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Merkhilfe: Wie erste Formel, aber mittlerer Term negativ

Beispiele:

$(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$
$(3 y - 2)^{2} = 9 y^{2} - 12 y + 4$

3. Binomische Formel

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Merkhilfe: "Plus mal Minus gibt Differenz der Quadrate"

Beispiele:

$(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25$
$(2 a + 3 b) (2 a - 3 b) = 4 a^{2} - 9 b^{2}$

Berechne mit der 1. binomischen Formel:

(x + 4)^{2}

🎯 Quadratische Ergänzung

Ziel: $x^{2} + p x + q$ in $(x + r)^{2} + s$ umwandeln

Methode:

$x^{2} + p x \to x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}$
$x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (x + \frac{p}{2})^{2}$
Ergebnis: $(x + \frac{p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2} + q$

Beispiel: $x^{2} + 6 x + 5$

$x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 5$
$(x + 3)^{2} - 4$

Führe die quadratische Ergänzung durch:

x^{2} + 8 x + 12

⚠️ Häufige Fehler

Falsche Binomische Formeln

❌ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$
✅ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Falsche Punkt-vor-Strich-Regel

❌ $2 + 3 \cdot 4 = 20$ (falsch: erst addiert)
✅ $2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$ (richtig: erst multipliziert)

Distributivgesetz vergessen

❌ $3 (x + 4) = 3 x + 4$
✅ $3 (x + 4) = 3 x + 12$

🔄 Übungstypen

Typ 1: Terme vereinfachen

Einfach

Vereinfache den Term:

3 x + 7 x - 2 x + 5

Typ 2: Ausmultiplizieren

Einfach

Multipliziere aus:

(x + 3) (x - 2)

Typ 3: Ausklammern

Einfach

Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus:

6 x^{2} + 9 x

Typ 4: Quadratische Ergänzung

Mittel

Schreibe den Term in der Form

(x + a)^{2} + b

x^{2} - 8 x + 12

Terme faktorisieren

Mittel

Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus:

12 x^{3} + 18 x^{2} + 6 x

🎲 Wichtige Merkwerte

Zweierpotenzen: $2^{1} = 2$ , $2^{2} = 4$ , $2^{3} = 8$ , $2^{4} = 16$ , $2^{5} = 32$ , $2^{6} = 64$ , $2^{7} = 128$ , $2^{8} = 256$

Quadratzahlen: $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}, 7^{2}, 8^{2}, 9^{2}, 1 0^{2}$

$= 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$

📚 Anwendungen im Studium

Algebra: Gleichungslösung, Polynommanipulation
Analysis: Grenzwertberechnung, Ableitungsregeln
Lineare Algebra: Matrixoperationen, Determinanten
Physik: Formeln umstellen, Energieberechnungen