Ableitungsregeln – kompakt mit Beispielen und Übungen

17. September 2025

Alle wichtigen Ableitungsregeln auf einen Blick: Linearkombination, Potenz-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel sowie Ableitungen von e^x, a^x, ln, log_b, sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan – mit typischen Fehlern und Übungsaufgaben.

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Mathe I – Lineare Algebra & Analysis

Was ist Ableiten?

Die Ableitung misst die Änderungsrate von $f$ an der Stelle $x$ . Anschaulich entspricht sie der Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(x, f (x))$ . Mathematisch wird die Ableitung definiert als Grenzwert des Differenzenquotienten:

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Grundregeln

Regel	Formel	Hinweis
Konstante	$(c)^{'} = 0$	Zahlen verschwinden
Identität	$(x)^{'} = 1$	x abgeleitet wird 1
Linearkombination	$(a f + b g)^{'} = a f^{'} + b g^{'}$	Konstanten "ziehen vor"
Potenzregel	$(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$	Für alle reellen $n$

Verknüpfungsregeln

Produktregel: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, muss jede einzeln abgeleitet und dann addiert werden.

Beispiel: $f (x) = x^{2} \cdot sin x$

$u = x^{2} \Rightarrow u^{'} = 2 x$
$v = sin x \Rightarrow v^{'} = cos x$
$f^{'} (x) = 2 x \cdot sin x + x^{2} \cdot cos x$

Quotientenregel: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Bei Brüchen gilt: "Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, alles durch unten zum Quadrat".

Beispiel: $f (x) = \frac{x ^{2}}{e ^{x}}$

$u = x^{2} \Rightarrow u^{'} = 2 x$
$v = e^{x} \Rightarrow v^{'} = e^{x}$
$f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot e ^{x} - x ^{2} \cdot e ^{x}}{( e ^{x} ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( 2 x - x ^{2} )}{e ^{2 x}} = \frac{2 x - x ^{2}}{e ^{x}}$

Kettenregel: $(g \circ f)^{'} (x) = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)$

Bei verketteten Funktionen: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung".

Beispiel: $f (x) = sin (3 x^{2})$

Äußere Funktion: $g (u) = sin u \Rightarrow g^{'} (u) = cos u$
Innere Funktion: $u (x) = 3 x^{2} \Rightarrow u^{'} (x) = 6 x$
$f^{'} (x) = cos (3 x^{2}) \cdot 6 x = 6 x cos (3 x^{2})$

Wichtige Standardableitungen

Potenz- und Wurzelfunktionen

$f (x)$	$x^{n}$	$x^{a}$	$x$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x ^{n}}$
$f^{'} (x)$	$n \cdot x^{n - 1}$	$a x^{a - 1}$	$\frac{1}{2 x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{n}{x ^{n + 1}}$

Exponential- und Logarithmusfunktionen

$f (x)$	$e^{x}$	$a^{x}$	$a^{g (x)}$	$ln (x)$	$lo g_{a} (x)$
$f^{'} (x)$	$e^{x}$	$a^{x} ln (a)$	$a^{g (x)} \cdot ln (a) \cdot g^{'} (x)$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x l n ( a )}$

Trigonometrische Funktionen

$f (x)$	$sin (x)$	$cos (x)$	$tan (x)$	$cot (x)$
$f^{'} (x)$	$cos (x)$	$- sin (x)$	$\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}$	$- \frac{1}{s i n ^{2} ( x )}$

Arkusfunktionen

$f (x)$	$arcsin (x)$	$arccos (x)$	$arctan (x)$	$arccot (x)$
$f^{'} (x)$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$- \frac{1}{1 + x ^{2}}$

Typische Fehler

Potenzregel gilt nicht direkt für $a^{x}$ (hier: $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ , nicht $x \cdot a^{x - 1}$ ).
Bei der Kettenregel die innere Ableitung nicht vergessen.
In der Quotientenregel steht im Zähler $u^{'} v - u v^{'}$ (Reihenfolge beachten).

Beispiele

1) Potenz + Linearkombination

f (x) = 3 x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} + 7

f^{'} (x) = 3 \cdot 5 x^{4} - \frac{1}{2} \cdot 2 x + 0 = 15 x^{4} - x

2) Produktregel

f (x) = x^{2} \cdot sin x

f^{'} (x) = 2 x sin x + x^{2} cos x

3) Quotientenregel

f (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{2} + 1}

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 ) - e ^{x} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 - 2 x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

4) Kettenregel

f (x) = ln (3 x^{2} + 5)

f^{'} (x) = \frac{1}{3 x ^{2} + 5} \cdot 6 x = \frac{6 x}{3 x ^{2} + 5}

5) Kombination aus mehreren Regeln

f (x) = e^{s i n x} \cdot (x^{3} + 1)

Produkt + Kette:

f^{'} (x) = e^{s i n x} \cdot (cos x) \cdot (x^{3} + 1) + e^{s i n x} \cdot 3 x^{2}

Leite ab: $h (x) = (a x)^{5}$ mit $a \in R$ fest

Knifflige Aufgaben für Fortgeschrittene

Aufgabe 11

Schwer

Leite ab: $f (x) = sin (ln (x^{2} + 1))$

Aufgabe 12

Schwer

Leite ab: $f (x) = x^{2} e^{3 x} sin (2 x)$

Aufgabe 13

Schwer

Leite ab: $f (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{2} + s i n x}$

Aufgabe 14

Schwer

Leite ab: $f (x) = x^{l n x}$ für $x > 0$

Aufgabe 15

Schwer

Leite ab: $f (x) = arctan (\frac{x}{1 - x ^{2}})$

Sammlungen

Was ist Ableiten?

Grundregeln

Verknüpfungsregeln

Produktregel: (uv)′=u′v+uv′

Quotientenregel: (vu​)′=v2u′v−uv′​

Kettenregel: (g∘f)′(x)=g′(f(x))⋅f′(x)

Wichtige Standardableitungen

Potenz- und Wurzelfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Trigonometrische Funktionen

Arkusfunktionen

Typische Fehler

Beispiele

1) Potenz + Linearkombination

2) Produktregel

3) Quotientenregel

4) Kettenregel

5) Kombination aus mehreren Regeln

Übungen

Aufgabe 1: Produkt + Kette

Aufgabe 2: Quotient

Aufgabe 3: Kette

Aufgabe 4: Exponential + Log

Aufgabe 5: Potenzfunktion

Aufgabe 6: Wurzelfunktion

Aufgabe 7: Kubikwurzel

Aufgabe 8: Exponentialfunktion

Aufgabe 9: Logarithmus + Potenz

Aufgabe 10: Allgemeine Potenz

Knifflige Aufgaben für Fortgeschrittene

Aufgabe 11

Aufgabe 12

Aufgabe 13

Aufgabe 14

Aufgabe 15

Produktregel: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Quotientenregel: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Kettenregel: $(g \circ f)^{'} (x) = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)$