Potenz-, Exponential- und Logarithmengesetze – kompakt erklärt

Ein kompakter Überblick über die wichtigsten Rechenregeln zu Potenzen, Exponentialfunktionen und Logarithmen – mit Beispielen, typischen Stolperfallen und Mini‑Übungen.

Potenzgesetze

Seien $a,b\in \mathbb{R}$, $a\ne 0$, und $m,n\in \mathbb{Z}$. Für rationale/irrationale Exponenten gelten die Regeln analog, sofern definiert.

Regel	Formel	Bedingungen
Multiplikation gleicher Basis	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Division gleicher Basis	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a\ne 0$
Potenz einer Potenz	$(a^m{)}^n=a^{mn}$
Potenz eines Produkts	$(ab{)}^n=a^n{b}^n$
Potenz eines Quotienten	${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$	$b\ne 0$
Null‑ und Einsregeln	$a^0=1$, $a^1=a$, $1^n=1$, $0^n=0$	$a\ne 0$, $n>0$
Negative Exponenten	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$	$a\ne 0$
Rationale Exponenten	$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$	$a\ge 0$ bei geradem $n$

Typische Stolperfallen:

• FALSCH: $a^m+a^n=a^{m+n}$. Richtig ist nur die Multiplikationsregel. Beispiel: $2^3+2^2=8+4=12\ne 2^5=32$.
• $(a+b{)}^n\ne a^n+b^n$ im Allgemeinen (Ausnahme: $n=1$). Hier helfen binomische Formeln bzw. der binomische Lehrsatz.

Beispiele

• $2^3\cdot 2^5=2^{3+5}=2^8=256$
• $\frac{5^9}{5^4}=5^5=3125$
• $(3^2{)}^4=3^8=6561$
• $16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16^3}=\sqrt[4]{4096}=8$

Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion hat die Form:

$$\begin{array}{rlrlr}f(x)=a\cdot b^x& & \text{ mit }& & a\in \mathbb{R}\text{ , }b>0,b\ne 1\end{array}$$

• Monotonie:
  • streng wachsend: $b>1$
  • streng fallend: $0<b<1$
• Wertetabelle:
  • $f(0)=a$
  • $f(1)=ab$
  • $f(-1)=\frac{a}{b}$.
• Verschiebung und Streckung:
  • $g(x)=c\cdot b^x+d$ verschiebt/staucht $b^x$ vertikal.
• Exponentialgleichungen löst man über Logarithmen:

$$\begin{array}{rlrlr}{b}^x& =c& & & \\ x& ={\log }_b(c)& & & |\text{ fu¨r }b>0,b\ne 1,c>0\end{array}$$

Logarithmen und Logarithmengesetze

Für $b>0$, $b\ne 1$ und $x>0$ ist der Logarithmus ${\log }_b(x)$ definiert als der Exponent, zu dem man die Basis $b$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten: ${\log }_b(x)=y⟺b^y=x$.

Wichtige Gesetze (für $x,y>0$):

• Produkt: ${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$
• Quotient: ${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{b}x-{\log }_{b}y$
• Potenz: ${\log }_b(x^k)=k\cdot {\log }_{b}x$
• Basiswechsel: ${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}$ (beliebige Basis $a>0,a\ne 1$)
• Speziell: $\ln (x)={\log }_e(x)$, ${\log }_{10}(x)$ ist der Zehnerlogarithmus.

Stolperfallen:

• ${\log }_b(x+y)\ne {\log }_{b}x+{\log }_{b}y$ im Allgemeinen.
• ${\log }_b(0)$ und ${\log }_b(\text{negativ})$ sind nicht definiert.

Beispiele

• ${\log }_2(32)=5$, da $2^5=32$
• ${\log }_3(27)=3$, da $3^3=27$
• ${\log }_{10}(1000)=3$
• ${\log }_2(\frac{1}{8})={\log }_2(2^{-3})=-3$

Basiswechsel in die e‑Basis:

$${\log }_2(50)=\frac{\ln 50}{\ln 2}\approx \frac{3,9120}{0,6931}\approx 5,64.$$

Typische Aufgabenformen

1) Vereinfachen mit Potenzgesetzen:

$$\begin{array}{rl}\frac{3^5\cdot 3^{-2}}{3^4}& =\frac{3^{5+(-2)}}{3^4}\\ & =\frac{3^3}{3^4}\\ & =3^{3-4}\\ & =3^{-1}\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$

2) Exponentialgleichung lösen:

$$\begin{array}{rl}{5}^{2x-1}& =125\\ 5^{2x-1}& =5^3\\ 2x-1& =3\\ 2x& =4\\ x& =2\end{array}$$

3) Logarithmusgleichung lösen:

$$\begin{array}{rl}{\log }_4(x)+{\log }_4(x-3)& =2\\ {\log }_4(x(x-3))& =2\\ x(x-3)& =4^2\\ x(x-3)& =16\end{array}$$

Quadratische Gleichung:

$$\begin{array}{rl}{x}^2-3x-16& =0\\ x& =\frac{3\pm \sqrt{9+64}}{2}\\ x& =\frac{3\pm \sqrt{73}}{2}\end{array}$$

Wegen $x>0$ und $x-3>0$ bleibt $x=\frac{3+\sqrt{73}}{2}$.

Mini‑Übungen (mit Lösungen)

Probiere zuerst selbst – dann aufklappen.

Zusammenfassung

• Potenzen: Exponenten addieren/subtrahieren/multiplizieren (je nach Regel), negative Exponenten bedeuten Kehrwert, rationale Exponenten sind Wurzeln.
• Exponentialfunktionen: $a\cdot b^x$, mit $b>1$ wachsend, $0<b<1$ fallend; Gleichungen via Logarithmen lösen.
• Logarithmen: Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen; Produkt/Quotient/Potenz werden zu Summe/Differenz/Vielfache.