Integrationsregeln – kompakt mit Beispielen und Übungen

Was ist Integration?

Integration ist die Umkehrung der Ableitung. Eine Stammfunktion $F$ von $f$ erfüllt $F^{\prime }(x)=f(x)$:

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

Dabei ist $C$ die Integrationskonstante.

Grundregeln

Regel	Formel	Hinweis
Konstante	$\int cdx=cx+C$	Konstanten werden "aufintegriert"
Linearität	$\int (af+bg)dx=a\int fdx+b\int gdx$	Konstanten und Summen aufteilen
Potenzregel	$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$	Für $n\ne -1$
Spezialfall	$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$	Wichtige Ausnahme für $n=-1$

Wichtige Standardintegrale

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktion	$e^x$	$a^x$	$\frac{1}{x}$	$\ln x$
Stammfunktion	$e^x+C$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$	$\ln |x|+C$	$x\ln x-x+C$

Trigonometrische Funktionen

Funktion	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$	${\sec }^{2}x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
Stammfunktion	$-\cos x+C$	$\sin x+C$	$-\ln |\cos x|+C$	$\tan x+C$	$\tan x+C$

Weitere wichtige Integrale

Funktion	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$	$\frac{1}{x^2-a^2}$
Stammfunktion	$\arcsin x+C$	$\arctan x+C$	$\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$	$\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

Bestimmte Integrale und Hauptsatz

Bestimmte Integrale sind Integrale über ein Intervall $[a,b]$. Also es wird konkret ein Wert oder Term berechnet über das untersuchte Intervall. Ist $F$ Stammfunktion von $f$ und $f$ stetig auf $[a,b]$, dann:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Beispiel:

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2$$

Unbestimmte Integrale

Unbestimmte Integrale sind Integrale ohne Grenzen. Hier wird eine allgemeine Stammfunktion bestimmt.

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

Wichtig hier ist die Integrationskonstante $C$, da es unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich nur um eine Konstante unterscheiden. Hinweis: Beim Ableiten fällt die Konstante weg und wenn wir zurück integrieren, wissen wir nicht, welche Konstante ursprünglich da war.

Integrationstechniken

Substitution: $\int f(g(x))\cdot a\cdot g^{\prime }(x)dx=\int f(z)dz$

Bei verketteten Funktionen mit erkennbarer innerer Ableitung. Einer der Faktoren ist die "Ableitung" der inneren Funktion. Es muss nicht streng die Ableitung sein, sondern kann auch ein Vielfaches ($a\cdot g^{\prime }(x)$) davon sein.

Schritte beim Substituieren (detailiert erklärt):

1. Substitutionsvariable wählen: $z=g(x)$

• Somit verschwindet unser $x$. Wir können also nicht mehr $dx$ verwenden. und müssen auf $dz$ wechseln.
• Funktion sieht wie folgt aus: $\int f(z)\cdot a\cdot g^{\prime }(x)dx$, aber wir brauchen $dz$ um nach $z$ zu integrieren.
• Dazu brauchen wir die Ableitung der Substitutionsvariable.

2. Ableiten: $dz=g^{\prime }(x)dx$

• g'(x) ist die Ableitung der inneren Funktion.
• Nun haben wir $dz$ und $dx$ in einer Gleichung.
• Wir benötigen aber $dx$, stellen also nach dieser um.

3. Umstellen nach $dx$: $dx=\frac{dz}{g^{\prime }(x)}$
4. Einsetzen in das Integral: $\int f(z)\cdot a\cdot g^{\prime }(x)\frac{dz}{g^{\prime }(x)}$

• Kürzen der $g^{\prime }(x)$ ⇒ $\int f(z)\cdot adz$
• die Konstante $a$ kann vor das Integral gezogen werden.
• Somit haben wir: $a\int f(z)dz$. Und das können wir jetzt integrieren.

5. Integrieren: $a\int f(z)dz=a\cdot F(z)+C$
6. Rücksubstitution: $a\cdot F(g(x))+C$

Beachte bei bestimmten Integralen müssen die Grenzen angepasst werden:

• Neue Grenzen: $z_a=g(a)$ und $z_b=g(b)$
• Bestimmtes Integral: ${\int }_{z_a}^{z_b}f(z)dz=F(z_b)-F(z_a)$

Beispiel: $\int 2x\cdot \cos (x^2)dx$

1. $2x$ ist die Ableitung von der inneren Funktion $g(x)=x^2$
2. Substitution: $z=x^2\Rightarrow dz=2xdx$
3. Umstellen: $dx=\frac{dz}{2x}$
4. Einsetzen: $\int \cancel{2x}\cdot \cos (z)\cdot \frac{dz}{\cancel{2x}}$
5. Integrieren: $\int \cos (z)dz=\sin (z)+C$
6. Rücksubstitution: $\sin (x^2)+C$

Partielle Integration: ${\int }_a^{b}f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx=[f(x)\cdot g(x){]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)\cdot g(x)dx$

Sieht erstmal sehr kompliziert aus, aber im Endeffekt kommt es darauf an, ob einer der beiden Faktoren durch Ableitung vereinfacht wird.

Schritte bei der partiellen Integration:

1. Untersuche die Faktoren:

• Wähle $f(x)$ und $g^{\prime }(x)$ so, dass
• $f(x)$ einfacher wird durch Ableiten (also $f^{\prime }(x)$)
• Oft wird daraus eine Konstante oder verschwindet ganz
• und $g^{\prime }(x)$ ist oft einfacher zu integrieren.

2. Bestimme $f^{\prime }(x)$ und $g(x)$
3. Setze in die Formel ein:

• $\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx$

4. Integriere den neuen Term $\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx$
5. Fasse zusammen

Beispiel: $\int x{e}^{x}dx$

1. $x$ ist einfach abzuleiten, während $e^x$ einfach zu integrieren ist.
2. Wähle $f(x)=x\Rightarrow f^{\prime }(x)=1$ und $g^{\prime }(x)=e^x\Rightarrow g(x)=e^x$
3. Einsetzen: $\int x{e}^{x}dx=x\cdot e^x-\int 1\cdot e^{x}dx$
4. Integrieren: $\int e^{x}dx=e^x+C$
5. Zusammenfassen: $$\begin{array}{rl}\int x{e}^{x}dx& =x{e}^x-e^x+C\\ & =e^x(x-1)+C\end{array}$$

Spezielle Substitutionen im Überblick

Manchmal lässt sich das Integral direkt mit einer der folgenden Standard-Ersatzvariablen vereinfachen. Merke dir nicht nur die Formel – wichtiger ist, wann du sie anwenden kannst und wie das Vorgehen funktioniert.

1. Lineare Substitution

$${\int }_c^{d}f(ax+b)dx=\frac{1}{a}{\int }_{ac+b}^{ad+b}f(z)dz=\frac{1}{a}[F(z){]}_{z=ac+b}^{z=ad+b},z=ax+b$$

• Wann anwenden? Wenn das Argument der Funktion ein linearer Term $ax+b$ ist (z. B. $\sin (3x+1)$ oder $e^{2x-5}$).
• Vorgehen: Lege $z=ax+b$ fest, ersetze $dx$ durch $dz/a$ und passe bei bestimmten Integralen die Grenzen mit $z(a)$ bzw. $z(b)$ an.
• Vorteil: Du musst nicht jedes Mal neu substituieren – du kannst die Formel direkt verwenden oder geistig kurz auf $z$ wechseln.

2. Substitution bei Produkten

$${\int }_a^{b}f(x)f^{\prime }(x)dx={\int }_{f(a)}^{f(b)}zdz=[\frac{1}{2}{z}^2{]}_{z=f(a)}^{z=f(b)},z=f(x)$$

• Wann anwenden? Wenn der eine Faktor die Ableitung des anderen ist. Typische Form: $g(x)=f(x)$ und daneben $f^{\prime }(x)$ – also z. B. $\int x{e}^{x^2}dx$ oder $\int \ln (x)\frac{1}{x}dx$.
• Vorgehen: Verwende $z=f(x)$ (die Funktion, die auch im Produkt vorkommt). Dadurch verwandelt sich das Integral in ein einfaches Polynom in $z$.
• Hinweis: Bei unbestimmten Integralen genügt $\int f(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{2}(f(x){)}^2+C$.

3. Logarithmische Integration

$${\int }_a^b\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx={\int }_{f(a)}^{f(b)}\frac{1}{z}dz=[\ln |z|{]}_{z=f(a)}^{z=f(b)},z=f(x)$$

• Wann anwenden? Sobald du einen Quotienten aus Ableitung und Funktion siehst – klassisch bei Brüchen wie $\frac{2x}{x^2+1}$ oder $\frac{\cos x}{\sin x}$.
• Vorgehen: Setze $z=f(x)$, sodass $dz=f^{\prime }(x)dx$. Danach bleibt $\int \frac{1}{z}dz$, dessen Stammfunktion $\ln |z|$ ist.
• Vorteil: Du musst dir keine komplizierte Substitution merken – die Form verrät dir sofort, dass das Ergebnis ein Logarithmus ist.

Zusammenfassung und typische Fehler

Zusammenfassung

• Grundregeln: Beherrsche die Grundregeln der Integration (Konstante, Linearität, Potenzregel, Spezialfälle).
• Partielle Integration: Zerlege das Integral in einfachere Teile, indem du $f(x)$ und $g^{\prime }(x)$ wählst.
• Substitution: Ersetze komplizierte Ausdrücke durch einfachere Variablen.
• Spezialfälle: Nutze die vorgestellten speziellen Substitutionen, wenn du die passenden Muster erkennst.

Übungen

Hier sind einige Übungsaufgaben, um die Integrationstechniken zu festigen. Versuche, die Aufgaben selbstständig zu lösen, und nutze die Hinweise und Schritte, wenn du nicht weiterkommst.

Unbestimmte Integrale

Bestimmte Integrale

Knifflige Integrale

Diese Aufgaben kombinieren mehrere Techniken, erfordern strategisches Denken und zeigen fortgeschrittene Anwendungen der Integrationsregeln.