Trigonometrie – Kreis, Sinus, Cosinus: Formeln kompakt

Die wichtigsten Ideen der Trigonometrie auf einen Blick – mit Einheitskreis, Identitäten, Winkelbeziehungen und Dreiecksformeln, dazu kompakte Beispiele und Mini‑Übungen.

Gradmaß ↔ Bogenmaß

• $180^{\circ }=\pi$ (Radiant), $360^{\circ }=2\pi$.
• Umrechnung: $x^{\circ }=x\cdot \frac{\pi }{180}$, $r\text{rad}=r\cdot \frac{180}{\pi }{}^{\circ }$.

Einheitskreis-Definition

Auf dem Einheitskreis ($x^2+y^2=1$) hat ein Winkel $x$ den Punkt $(\cos x,\sin x)$. Damit:

• $\cos x$ ist die $x$‑Koordinate, $\sin x$ die $y$‑Koordinate.
• Periodizität: $\sin (x+2\pi )=\sin x$, $\cos (x+2\pi )=\cos x$.
• Symmetrien: $\sin (-x)=-\sin x$ (ungerade), $\cos (-x)=\cos x$ (gerade).
• Verschiebungen: $\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$, $\cos (x+\frac{\pi }{2})=-\sin x$.

Rechteckiges Dreieck

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel $\alpha$:

• $\sin \alpha =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• $\cos \alpha =\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• $\tan \alpha =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Wichtige Identitäten

• Pythagoras: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
• Tangens: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, definiert für $\cos x\ne 0$
• Additionstheoreme:
  • $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$
  • $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$
• Doppelwinkel:
  • $\sin (2x)=2\sin x\cos x$
  • $\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$

Spezielle Winkel (Einheitskreis)

• $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$
• $\tan \frac{\pi }{4}=1$

Trigonometrische Gleichungen (Beispiele)

• $\sin x=a$: Lösungen $x=\arcsin (a)+2k\pi$ oder $x=\pi -\arcsin (a)+2k\pi$
• $\cos x=a$: Lösungen $x=\pm \arccos (a)+2k\pi$
• $\tan x=a$: Lösungen $x=\arctan (a)+k\pi$

Dreiecksrechnen

• Sinussatz: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$
• Kosinussatz: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$ (zyklisch für $a,b$ analog)
• Flächeninhalt: $A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$

Beispiele

1. Additionstheorem nutzen:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x$$

2. Doppelwinkel-Umformung:

$$\cos (2x)=1-2{\sin }^{2}x\iff {\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$$

Mini‑Übungen (mit Lösungsknopf)