Das Summenzeichen verstehen

Bausteine der Notation

$$\sum _{k=1}^n{a}_k$$

• Sigma: Das große griechische Sigma $\sum$ steht für "Summe".
• Laufindex: In ${\sum }_{k=1}^n{a}_k$ ist $k$ eine Platzhaltervariable (auch Dummy-Variable). Der konkrete Buchstabe ist egal. Es wird immer um +1 erhöht.
• Untere/obere Grenze: $k=1$ ist Startwert, $n$ der Endwert. Beide Grenzen sind inklusive.
• Summand: Der Ausdruck rechts vom Sigma, z. B. $a_k$ oder $f(k)$, wird für jeden Index eingesetzt und aufsummiert.

In ganz einfachen Worten

1. Starte bei der unteren Grenze (unter dem $\sum _{k=1}$).
2. Zähle bis zur oberen Grenze (über dem $\sum ^n$). Merke dir wie oft du gezählt hast. (Beispiel $k=1,2,3,\dots ,n=5$, also 5 mal).
3. "Kopiere" alles rechts vom $\sum$ (den Summanden) so oft wie du gezählt hast und verbinde die Kopien mit Plus-Zeichen.
4. Ersetze in der ersten Kopie überall den Laufindex (hier $k$) durch den Startwert (hier 1), in der zweiten Kopie durch den nächsten Wert (hier 2) usw. bis zum Endwert (hier 5).
5. Fasse die Summe ggf. zusammen.

Beispiel mit allgemeinem Summanden:

$$\sum _{k=1}^n(2k-1)=1+3+5+\cdots +(2n-1)$$

Summenzeichen routiniert lesen

Das Summenzeichen ${\sum }_{k=1}^n{a}_k$ sprichst du "Summe von k gleich eins bis n von a k". Gemeint ist die Aufsummierung aller Folgenglieder $a_1+a_2+\cdots +a_n$.

Einfache Illustration:

$$\sum _{k=1}^{4}k=1+2+3+4=10.$$

Rechenregeln (Linearität)

Regel	Formel
Konstanten herausziehen	$\sum _{k=m}^{n}cf(k)=c\sum _{k=m}^{n}f(k)$
Summe aufteilen	$\sum _{k=m}^n(f(k)+g(k))=\sum _{k=m}^{n}f(k)+\sum _{k=m}^{n}g(k)$
Faktor ohne $k$ vorziehen	$\sum _{k=m}^{n}a{b}_k=a\sum _{k=m}^n{b}_k$ (wenn $a$ nicht von $k$ abhängt)

Diese Regeln erlauben, Summen zu vereinfachen oder in bekannte Bausteine zu zerlegen.

Besonderes Wissen über Summen

weitere Themen könnten hilfreich sein, aber nicht notwendig zum Verständnis der Notation. Sie vereinfachen Spezialfälle.

Indexverschiebung (Reindexierung)

Man setzt eine neue Laufvariable ein, z. B. $j=k-1$. Grenzen und Summand müssen konsistent umgeschrieben werden.

Beispiel:

$$\sum _{k=2}^{n+1}(2k-1)\stackrel{j=k-1}{=}\sum _{j=1}^n(2(j+1)-1)=\sum _{j=1}^n(2j+1)$$

Zweck: Terme an eine gewünschte Standardform anpassen (z. B. Start bei 1 statt 0) oder Teleskopieren ermöglichen.

Häufige Spezialfälle

• Arithmetische Reihe:

  $$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

• Quadratsumme und Kubiksummen:

  $$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$$

• Geometrische Reihe (endlich):

  $$\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}(q\ne 1)$$

  Unendlich für $|q|<1$:

  $$\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{1}{1-q},|q|<1$$

Summen über Bedingungen

Manchmal summiert man nur über bestimmte Indizes (z. B. gerade Zahlen). Das kann man so schreiben:

$$\sum _{\begin{array}{c}1\le k\le n\\ k\text{gerade}\end{array}}f(k)=\sum _{j=1}^{\lfloor n/2\rfloor }f(2j)$$

Beispiel:

$$\sum _{\begin{array}{c}1\le k\le 10\\ k\text{gerade}\end{array}}k=2+4+6+8+10=30=\sum _{j=1}^{5}2j$$

Doppelsummen in Kürze

Bei einer Doppelsumme werden zwei Summen ineinander verschachtelt. Man beginnt mit der inneren Summe und arbeitet sich nach außen vor. Bei ${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}$ läuft $j$ für jeden festen $i$ seine gesamte Spanne durch. Reihenfolge kann bei endlichen Summen vertauscht werden.

Kleines Beispiel:

$$\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^3(i+j)=\sum _{i=1}^2((i+1)+(i+2)+(i+3))=(2+3+4)+(3+4+5)=21$$

Mini-Beispiele

1. Konstanten ziehen: ${\sum }_{k=1}^{n}5k=5{\sum }_{k=1}^{n}k=5\cdot \frac{n(n+1)}{2}$

2. Reindexieren: ${\sum }_{k=0}^{n-1}(k+1)={\sum }_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$

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Übungen