Polynomdivision – Schritt für Schritt

20. September 2025

Wie man Polynome durch Polynome teilt: Algorithmus der Langdivision, mit vollständig durchgerechneten Beispielen und typischen Stolperfallen.

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Gegeben zwei Polynome $(f (x))$ (Dividend) und $(g (x))$ (Divisor, $g \neq \equiv 0$ ). Das hört sich sehr theoretisch an. Besser ein Beispiel:

\frac{f ( x ) = 2 x ^{3} - 3 x ^{2} + 4 x - 5}{g ( x ) = x - 2} .

Gesucht ist das Ergebnis dieser Division, also dem Quotient $(q (x))$ und Rest $(r (x))$ mit

\frac{f ( x )}{g ( x )} = q (x) + r (x)

Terme nach absteigendem Grad sortieren.
Fehlende Grade als $0$ -Term ergänzen (z. B. $x^{4} + 0 \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x - 1$ ).
Divisor darf nicht das Nullpolynom sein. ( $g \neq \equiv 0$ ).
Leitkoeffizienten notieren. Der Leitkoeffizient ist der Koeffizient des höchsten Grades ( $x$ mit der höchsten Hochzahl), z. B. bei $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ ist der Leitkoeffizient $2$ .

Wiederhole, bis $Grad (Rest) < Grad (g)$ :

Leitterm teilen: $\frac{Leitterm ( aktueller Dividend )}{Leitterm ( g )}$ ergibt den nächsten Term von $q (x)$ .
Multiplizieren: Diesen Term mit (g(x)) multiplizieren.
Subtrahieren: Vom aktuellen Dividend abziehen; Ergebnis ist der neue "Rest"/Zwischendividend.
Nächsten Term „herunterholen“ (bzw. weiterrechnen), bis Abbruchbedingung erfüllt.

So Allgemein gesprochen ist das manchmal sehr sehr schwer zu verstehen. Deshalb jetzt zwei vollständig durchgerechnete Beispiele.

Es gibt auch eine gute Erklärung von Simple Club

\frac{f ( x ) = 2 x ^{3} - 3 x ^{2} + 4 x - 5}{g ( x ) = x - 2}

Leitterm teilen: $\frac{2 x ^{3}}{x} = 2 x^{2}$ . Somit ist unser erster Term von $q (x) = 2 x^{2} \dots$
Multiplizieren und subtrahieren:

= 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 - (2 x^{2} \cdot (x - 2)) = - (2 x^{3} - 4 x^{2}) = 0 (2 x^{3} - 2 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 4 x^{2}) + 4 x - 5 = x^{2} + 4 x - 5

= x^{2} + 4 x - 5 - (x \cdot (x - 2)) = - (x^{2} - 2 x) = 0 + 6 x - 5

= 6 x - 5 - (6 \cdot (x - 2)) = - (6 x - 12) = 7

Ergebnis:

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 = (2 x^{2} + x + 6) (x - 2) + 7.

Der Quotient ist $q (x) = 2 x^{2} + x + 6$ , der Rest $r = 7$ . Konsistenzcheck via Restsatz: $f (2) = 7$ .

Teile $f (x) = x^{4} - 1$ durch $g (x) = x^{2} - 1$ . Ergänze fehlende Terme:

f (x) = x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 1.

= x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 1 - (x^{2} \cdot (x^{2} - 1)) = - (x^{4} - x^{2}) = 0 + 0 x^{3} + x^{2} + 0 x - 1

= x^{2} + 0 x - 1 - (1 \cdot (x^{2} - 1)) = - (x^{2} - 1) = 0

Damit

x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) + 0, also q (x) = x^{2} + 1, r (x) = 0.

Vorzeichenfehler beim Subtrahieren der Produktterme.
Fehlende Terme nicht ergänzt ⇒ falsche Ausrichtung der Grade.
Zu früh stoppen (Abbruch erst bei $deg r < deg g$ ).
Divisor nicht normiert: Das ist kein Fehler, aber achte beim Teilen der Leitterme auf den Leitkoeffizienten.

Für $g (x) = x - a$ kann man die Division effizient mit dem Horner-Schema durchführen. Das liefert zugleich $q (x)$ und den Rest $r = f (a)$ .

Beispiel wie oben, $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ , $a = 2$ :

2 2 ↓ 2 - 3 41 426 - 5 127 \Rightarrow q (x) = 2 x^{2} + x + 6, r = 7.

Leseregel: Die untere Zeile (bis auf den letzten Kasten) sind die Koeffizienten von $q (x)$ . Der letzte Eintrag ist der Rest.

Einfach

Teile $f (x) = 3 x^{2} + 5 x + 2$ durch $g (x) = x + 1$ . Bestimme $q (x)$ und $r$ .

Mittel

Teile $f (x) = 2 x^{4} - x^{2} + 1$ durch $g (x) = x^{2} - \frac{1}{2}$ . Gib $q (x)$ und $r (x)$ an.