Technische Physik - Tutorium VII: Hydraulik und Auftrieb

Aufgabe 1

Aufgabe 2

In einem Windkanal mit dem inneren Querschnittsabmessungen $300\mathrm{mm}\times 300\mathrm{mm}$ strömt die Luft mit einer Geschwindigkeit $v=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Die Temperatur beträgt $20°C$ und der Luftdruck ist $p=1,2\mathrm{bar}$. Bei diesem Druck und dieser Temperatur beträgt die Luftdichte $\rho =1,4\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$. Der Luftkanal wird mit einem Reduzierstück auf die Querschnittsabmessungen $150\mathrm{mm}\times 150\mathrm{mm}$ reduziert, und es wird angenommen, dass dabei die Luftdichte konstant bleibt. Berechnen Sie:

a) die Strömungsgeschwindigkeit $v$ im reduzierten Querschnitt

b) den Druck mit reduziertem Querschnitt

Teilaufgabe a:

$$\begin{array}{rlrl}{\dot{V}}_1& ={\dot{V}}_2& & \\ A_1\cdot v_1& =A_2\cdot v_2& & |:A_2\\ v_2& =\frac{A_1\cdot v_1}{A_2}& & \\ & =\frac{(300\mathrm{mm}\cdot 300\mathrm{mm})\cdot 6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{(150\mathrm{mm}\cdot 150\mathrm{mm})}& & \\ & =24\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}& & \end{array}$$

Teilaufgabe b:

$$\begin{array}{rlrl}{p}_1+\frac{\rho }{2}\cdot v_1^2& =p_2+\frac{\rho }{2}\cdot v_2^2& & |-\frac{\rho }{2}\cdot v_2^2\\ p_2& =p_1+\frac{\rho }{2}\cdot v_1^2-\frac{\rho }{2}\cdot v_2^2& & \\ & =120.000\mathrm{Pa}+\frac{1,4\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}}{2}\cdot {\left(6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2-\frac{1,4\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}}{2}\cdot (24\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}{)}^2& & \\ & =120.000\mathrm{Pa}+25,2\mathrm{Pa}-403,2\mathrm{Pa}& & \\ & =119.622\mathrm{Pa}=1,2\mathrm{bar}& & \end{array}$$

Aufgabe 3

Beim Eintauchen eines Prandtl’schen Staurohres in einem Fluss stellt sich entsprechend der Fließgeschwindigkeit $\Delta h=30\mathrm{cm}$ ein. Wie groß ist die Fließgeschwindigkeit des Wassers?

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot g\cdot \Delta h}\\ & =\sqrt{2\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,3\mathrm{m}}\\ & =2,43\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$$

Aufgabe 4

Ein Wasserhahn liefert einen Volumenstrom $\dot{V}=6\frac{\mathrm{l}}{\min }$ .Der angeschlossene Gartenschlauch hat einen Innendurchmesser $d_1=18\mathrm{mm}$, die Düse einen Querschnitt von $d_2=5,0\mathrm{mm}$.

a) Berechne den Massenstrom im Gartenschlauch.

b) Berechne die Geschwindigkeit des Wassers im Gartenschlauch.

c) Berechne die Geschwindigkeit des Wassers an der Düse.

Vorbereitung: Umrechnung des Volumenstroms in eine geeignete Einheit:

$$6\frac{\mathrm{l}}{\min }=6\frac{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}{60\mathrm{s}}=0,1\frac{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}=0,1\frac{(\cdot 10^2\mathrm{mm}{)}^3}{\mathrm{s}}=100.000\frac{\mathrm{m}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}$$

Teilaufgabe a:

$$\begin{array}{rl}\dot{m}& =\dot{V}\cdot \rho \\ & =0,1\frac{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}\cdot 1\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}\\ & =0,1\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}}\end{array}$$

Teilaufgabe b:

$$\begin{array}{rlrl}\dot{V}& =A\cdot v& & |:A\\ v& =\frac{\dot{V}}{A}& & \\ & =\frac{100.000\frac{\mathrm{m}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}}{\pi \cdot \frac{(18\mathrm{mm}{)}^2}{4}}& & \\ & =392,98\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}& & \\ & =0,39298\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}& & \end{array}$$

Teilaufgabe c:

$$\begin{array}{rlrl}\dot{V}& =A\cdot v& & |:A\\ v& =\frac{\dot{V}}{A}& & \\ & =\frac{100.000\frac{\mathrm{m}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}}{\pi \cdot \frac{(5\mathrm{mm}{)}^2}{4}}& & \\ & =5.092,958\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}& & \\ & =5,09\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}& & \end{array}$$

Aufgabe 5

Mit einem VENTURI-Rohr mit den Rohrdurchmessern $d_1=30\mathrm{mm}$ und $d_2=20\mathrm{mm}$ wird in einem Luftstrom eine Druckdifferenz von $\Delta p=200\mathrm{Pa}$ gemessen. $\rho =1,2\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$.

Berechne die Strömungsgeschwindigkeit $v_1$.

Abbildung: Venturi-Rohr (Skizze).

$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =\text{konstant}\\ A_1\cdot v_1& =A_2\cdot v_2\\ v_2& =\frac{d_1^2}{d_2^2}\cdot v_1\end{array}$$

Somit haben wir eine Formel für die zweite Geschwindigkeit. Jedoch müssen wir die anderen Werte noch verarbeiten. Hierfür verwenden wir die Bernoulli pormel. Und zwar die Druckgleichung bei konstanter Höhe. hier gilt:

$$p+\frac{\rho }{2}\cdot v^2=\text{konstant}$$

Also können wir folgendes formulieren:

$$\begin{array}{rlrl}{p}_1+\frac{\rho }{2}\cdot v_1^2& =p_2+\frac{\rho }{2}\cdot v_2^2& & |-p_2-\left(\frac{\rho }{2}\cdot v_1^1\right)\\ \stackrel{\Delta p}{\overbrace{p_1-p_2}}& =\frac{\rho }{2}\cdot (v_2^2-v_1^2)& & |v_2=\frac{d_1^2}{d_2^2}\cdot v_1\\ \Delta p& =\frac{\rho }{2}\cdot \left({\left(\frac{d_1^2}{d_2^2}\cdot v_1\right)}^2-v_1^2\right)& & \\ & =\frac{\rho }{2}\cdot \left({\left(\frac{(30\mathrm{mm}{)}^2}{(20\mathrm{mm}{)}^2}\cdot v_1\right)}^2-v_1^2\right)& & \\ & =\frac{\rho }{2}\cdot \left({\left(\frac{9}{4}\cdot v_1\right)}^2-v_1^2\right)& & \\ & =\frac{\rho }{2}\cdot \left(\frac{81}{16}\cdot v_1^2-\frac{16}{16}\cdot v_1^2\right)& & \\ & =\frac{\rho }{2}\cdot \frac{65}{16}\cdot v_1^2& & |\cdot \frac{32}{65\rho }\\ v_1& =\sqrt{\frac{\Delta p\cdot 32}{65\cdot \rho }}& & \\ & =\sqrt{\frac{200\mathrm{Pa}\cdot 32}{65\cdot 1,2\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}}}& & \\ & =9,0582\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}& & \end{array}$$

Aufgabe 6

In einer Rohrleitung mit einem Innendurchmesser von $d=20\mathrm{mm}$ strömt das Wasser mit einer Geschwindigkeit $v=2,0\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Bei einer Wassertemperatur von $\theta =20°C$ kann mit einer kinematischen Viskosität $\nu =1,01\ast 10^{-6}\frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{s}}$ gerechnet werden. Aktuell herrscht eine turbulente Strömung.

a) Welchen Innendurchmesser benötigt das Rohr, damit eine laminare Strömung vorliegt, wenn die Strömungsgeschwindigkeit gleichbleibt?

$$\begin{array}{rlrl}2320& =\frac{v\cdot d}{\nu }& & |\cdot \nu :v\\ d& =\frac{2320\cdot \nu }{v}& & \\ & =1,1716\cdot 10^{-3}\mathrm{m}& & \end{array}$$

b) Wie groß ist für diesen Fall der Volumenstrom? ($v=v_{{\text{krit}}^{\prime }}$)

$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =A\cdot v\\ & =2\pi \cdot \frac{(1,1716\cdot 10^{-3}\mathrm{m}{)}^2}{4}\cdot 2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ & =4,31\cdot 10^{-6}\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}\\ & =4,31\cdot 10^{-6}\frac{(\cdot 10^2\mathrm{cm}{)}^3}{\mathrm{s}}\\ & =4,31\frac{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}\end{array}$$